Ecuaciones de Tercer Grado

 

3. Ecuaciones de Tercer Grado

• Forma General: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
• Métodos de Solución:
• Método de Factorización: Buscar raíces posibles y dividir por binomios.
• Ruffini: Simplificación usando la regla de Ruffini para factorizar polinomios.
• Fórmulas de Cardano: Método general para ecuaciones cúbicas.

3. Sistemas de Ecuaciones de Tercer Grado

Una ecuación de tercer grado tiene la forma general:

$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$

Las ecuaciones de tercer grado pueden tener hasta tres soluciones reales, dependiendo de los valores de los coeficientes.

Métodos de Solución

A. Factorización (Raíces Obvias y Factor Teorema)

1. Buscar Raíces Racionales: Para hallar raíces racionales posibles, se utiliza el teorema del factor. Se prueba con divisores de $d$ (el término independiente). Si alguna de estas pruebas satisface la ecuación, entonces esa es una raíz.

2. Factorización: Una vez encontrada una raíz, podemos factorizar el polinomio de tercer grado dividiéndolo por $(x - r)$, donde $r$ es la raíz encontrada. Esto reduce el grado del polinomio y nos permite factorizar más fácilmente.

Ejemplo:

Considera la ecuación:

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$$

Probamos posibles raíces usando $x = 1$, $x = 2$, y $x = 3$:

• $x = 1$:

$$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \quad (\text{Es una raíz})$$

Factorizamos:

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$$

El siguiente paso es factorizar $x^2 - 5x + 6$:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

Así que, la ecuación original se puede escribir como:

$$(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$$

Las soluciones son $x = 1$, $x = 2$, $x = 3$.

B. División Sintética (Ruffini)

La división sintética es un método simplificado de la división polinómica que se utiliza una vez que se ha encontrado una raíz.

Ejemplo:

Para la ecuación $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, ya encontramos que $x = 1$ es una raíz.

Podemos dividir $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ por $x - 1$ usando división sintética:

1 | 1 -6 11 -6
| 1 -5 6

1  -5   6   0  

El cociente es $x^2 - 5x + 6$, que ya factorizamos como $(x - 2)(x - 3)$.

C. Fórmulas de Cardano

Las fórmulas de Cardano son un método algebraico que se usa para resolver cualquier ecuación cúbica. Aunque este método es más complejo y menos práctico para ecuaciones que se pueden factorizar, es muy poderoso para casos más difíciles.

Ejemplo:

Consideremos una ecuación cúbica general:

$$x^3 + px + q = 0$$

Cardano resolvió esta forma general utilizando una sustitución $x = u + v$, lo que lleva a un sistema de ecuaciones para $u$ y $v$. Sin embargo, este método es avanzado y menos intuitivo comparado con la factorización o la división sintética.

Ejemplo Completo (Combinando Métodos)

Considera el sistema de ecuaciones:

$$\begin{aligned} x^3 + 2x^2 - 5x - 6 &= 0 \quad \text{(1)} \\ x + y &= 4 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Paso 1: Resolver la ecuación cúbica

Podemos probar con posibles raíces de la ecuación (1) usando el método de factorización:

Probamos $x = 1$:

$$1^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \quad (\text{No es una raíz})$$

Probamos $x = 2$:

$$2^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 0 \quad (\text{Es una raíz})$$

Factorizamos:

$$(x - 2)(x^2 + 4x + 3) = 0$$

Ahora factorizamos $x^2 + 4x + 3$:

$$(x - 2)(x + 1)(x + 3) = 0$$

Las soluciones son $x = 2$, $x = -1$, $x = -3$.

Paso 2: Usar la segunda ecuación

Para cada solución de $x$, sustituimos en la ecuación (2) para encontrar $y$:

• Para $x = 2$: $y = 4 - 2 = 2$
• Para $x = -1$: $y = 4 - (-1) = 5$
• Para $x = -3$: $y = 4 - (-3) = 7$

Soluciones finales:

• $(x, y) = (2, 2)$
• $(x, y) = (-1, 5)$
• $(x, y) = (-3, 7)$