Ecuaciones de Segundo Grado

 

2. Ecuaciones de Segundo Grado

• Forma General: $ax^2 + bx + c = 0$
• Métodos de Solución:
• Factorización: Descomponer la ecuación en dos binomios.
• Fórmula General: Usar la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Completación de Cuadrados: Transformar la ecuación en un trinomio cuadrado perfecto.

2. Sistemas de Ecuaciones de Segundo Grado

Un sistema de ecuaciones de segundo grado puede involucrar una o más ecuaciones cuadráticas. La forma general de una ecuación cuadrática es:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Métodos de Solución

A. Factorización

La factorización consiste en escribir la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios. Este método es aplicable cuando la ecuación puede factorizarse fácilmente.

Ejemplo:

Considera la ecuación:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Podemos factorizarla como:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

De aquí, se obtienen las soluciones $x = 2$ y $x = 3$.

B. Fórmula General (Fórmula Cuadrática)

Cuando una ecuación cuadrática no es fácilmente factorizable, podemos usar la fórmula cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Esta fórmula nos da las soluciones de la ecuación cuadrática, donde $b^2 - 4ac$ es el discriminante que indica el número de soluciones reales:

• Si el discriminante es positivo, hay dos soluciones reales.
• Si es cero, hay una solución real (raíces dobles).
• Si es negativo, las soluciones son complejas.

Ejemplo:

Considera la ecuación:

$$2x^2 - 4x - 6 = 0$$

Aplicando la fórmula cuadrática:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}$$

De aquí, obtenemos las soluciones:

$$x_1 = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1$$

C. Completación de Cuadrados

Este método consiste en reescribir la ecuación cuadrática de forma que uno de los lados sea un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:

Considera la ecuación:

$$x^2 + 6x + 5 = 0$$

Para completar el cuadrado, tomamos la mitad del coeficiente de $x$, lo elevamos al cuadrado, y lo sumamos y restamos:

$$x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = 0 \implies (x + 3)^2 - 4 = 0$$

Esto se puede simplificar a:

$$(x + 3)^2 = 4$$

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:

$$x + 3 = \pm 2$$

De aquí, obtenemos:

$$x = -3 + 2 = -1 \quad \text{y} \quad x = -3 - 2 = -5$$

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Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas y Lineales

A veces, un sistema puede incluir una ecuación cuadrática y una ecuación lineal. La solución se encuentra sustituyendo la solución de la ecuación lineal en la cuadrática.

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones:

$$\begin{aligned} y &= x + 1 \quad \text{(1)} \\ y &= x^2 - 3x + 2 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Paso 1: Sustitución

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2):

$$x + 1 = x^2 - 3x + 2$$

Paso 2: Simplificación

Llevamos todo al lado derecho de la ecuación:

$$x^2 - 4x + 1 = 0$$

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula cuadrática:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Paso 4: Sustituir los valores de $x$ en la ecuación lineal para hallar $y$

Para $x_1 = 2 + \sqrt{3}$:

$$y_1 = 2 + \sqrt{3} + 1 = 3 + \sqrt{3}$$

Para $x_2 = 2 - \sqrt{3}$:

$$y_2 = 2 - \sqrt{3} + 1 = 3 - \sqrt{3}$$

Soluciones:

Las soluciones son $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, es decir, $(2 + \sqrt{3}, 3 + \sqrt{3})$ y $(2 - \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3})$.