Ecuaciones de Primer Grado

 

1. Ecuaciones de Primer Grado

• Forma General: $ax + by = c$
• Métodos de Solución:
• Sustitución: Resolver una ecuación para una variable y luego sustituirla en la otra.
• Eliminación: Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una variable.
• Gráfico: Representar las ecuaciones en un plano cartesiano y encontrar el punto de intersección

1. Sistemas de Ecuaciones de Primer Grado

Un sistema de ecuaciones de primer grado tiene la forma general:

$$\begin{aligned} ax + by &= c \\ dx + ey &= f \end{aligned}$$

donde $x$ y $y$ son las incógnitas, y $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, y $f$ son constantes conocidas.

Métodos de Solución

A. Método de Sustitución

1. Despejar una variable en una de las ecuaciones:

   Supongamos que despejamos $x$ de la primera ecuación:

   $$x = \frac{c - by}{a}$$

2. Sustituir esta expresión en la otra ecuación:

   Sustituimos $x$ en la segunda ecuación:

   $$d\left(\frac{c - by}{a}\right) + ey = f$$

3. Resolver para $y$:

   Resolvemos esta ecuación para $y$. Una vez obtenida $y$, sustituimos este valor en la ecuación despejada para encontrar $x$.

B. Método de Eliminación

1. Multiplicar las ecuaciones para igualar los coeficientes de una variable:

   Por ejemplo, si queremos eliminar $x$, podemos multiplicar las ecuaciones para que los coeficientes de $x$ sean iguales.

2. Restar o sumar las ecuaciones:

   Restamos o sumamos las ecuaciones para eliminar una variable, resolviendo así para la otra.

3. Resolver para la segunda variable:

   Una vez que se ha encontrado una variable, se sustituye en una de las ecuaciones originales para hallar la otra.

C. Método Gráfico

1. Graficar ambas ecuaciones en un plano cartesiano:

   Cada ecuación representa una recta. Graficamos ambas rectas en el mismo plano.

2. Encontrar el punto de intersección:

   El punto donde las dos rectas se intersectan es la solución del sistema, es decir, el valor de $x$ y $y$.

Ejemplo Práctico (Método de Sustitución)

Considera el sistema de ecuaciones:

$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 6 \quad \text{(1)}\\ 4x - y &= 5 \quad \text{(2)} \end{aligned}$$

Paso 1: Despejar una variable en una de las ecuaciones

Despejamos $y$ en la primera ecuación (1):

$$3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3}$$

Paso 2: Sustituir en la segunda ecuación

Sustituimos $y$ en la segunda ecuación (2):

$$4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5$$

Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:

$$12x - (6 - 2x) = 15$$

Simplificamos:

$$12x - 6 + 2x = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$$

Paso 3: Sustituir $x$ en la ecuación despejada

Sustituimos $x = \frac{3}{2}$ en la ecuación para $y$:

$$y = \frac{6 - 2\left(\frac{3}{2}\right)}{3} = \frac{6 - 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

Solución: $x = \frac{3}{2}$, $y = 1$.